椭圆的方程为X^2/4+Y^2/3=1,试确定t的取值范围,使椭圆上有了两个不同的点关于直线y=4x+t

本题研究的是关于对称问题,可以考虑设出与对称直线垂直的直线方程,用判别式大于0解决,但运算繁.
亦可以考虑中点在椭圆内来解题,使用点差法(差分法)运算简单.
设点A(x1,y1),B(x2,y2)
由X1^2/4+Y1^2/3=1,X2^2/4+Y2^2/3=1
作差得(X1^2-X2^2)/4+(Y1^2-Y2^2)/3=0
所以(y1-y2)/(x1-x2)=-3(x1+x2)/4(y1+y2)
又(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
所以中点(x0,y0)满足-3x0/4y0=-1/4
即y0=3x0 ,
又y0=4x0+t,
所以x0=-t,y0=-3t,
要使满足题目意思
必须有中点在椭圆内部
所以X0^2/4+Y0^2/3<1
即(-t)^2/4+(-3t)^2/3<1
所以t^2<4/13
所以-2(根号13)/13<t<2(根号13)/13

本题研究的是关于对称问题,可以考虑设出与对称直线垂直的直线方程,用判别式大于0解决,但运算繁.
亦可以考虑中点在椭圆内来解题,使用点差法(差分法)运算简单.
设点A(x1,y1),B(x2,y2)
由X1^2/4+Y1^2/3=1,X2^2/4+Y2^2/3=1
作差得(X1^2-X2^2)/4+(Y1^2-Y2^2)/3=0
所以(y1-y2)/(x1-x2)=-3(x1+x2)/4(y1+y2)
又(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
所以中点(x0,y0)满足-3x0/4y0=-1/4
即y0=3x0 ,
又y0=4x0+t,
所以x0=-t,y0=-3t,
要使满足题目意思
必须有中点在椭圆内部
所以X0^2/4+Y0^2/3<1
即(-t)^2/4+(-3t)^2/3<1
所以t^2<4/13
所以-2(根号13)/13<t<2(根号13)/13